Определить координаты ус центра тяжести фигуры 1

Определение центра тяжести плоской фигуры
методическая разработка

Определение центра тяжести плоской фигуры. В разработке указан способ определения центра тяжести аналитическим образом. Разработка будет полезна студентам для осовения практических умений по дисциплине «Техническая механика».

Скачать:

Вложение	Размер
metodicheskaya_razrabotka_tsentr_tyazhesti_ploskoy_figury.docx	165.39 КБ

Предварительный просмотр:

Определение центра тяжести плоской фигуры

Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике – при использовании правила Верещагина.

При определении координат центра тяжести используются следующие методы:

1) метод симметрии: если сечение имеет центр симметрии или ось симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии или на оси симметрии;

2) метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

3) метод отрицательных площадей: этот способ является частным случаем способа разделения. Он используется, когда сечение имеет вырезы, срезы, полости (отверстия), которые рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

При решении задач на определение центра тяжести сложных сечений следует придерживаться следующего порядка:

1. Выбрать метод, который наиболее применим к данной задаче.

2. Разбить сложное сечение на простые части, для которых центры тяжести известны.

3. Выбрать оси координат. При этом необходимо помнить, что: если тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести лежит в этой плоскости; если тело имеет ось симметрии, то его центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр симметрии, то его центр тяжести совпадает с центром симметрии.

4. Определить координаты центров тяжести отдельных частей относительно выбранных осей.

5. Используя формулы определить искомые координаты центра тяжести заданного сечения.

=

где А 1 , А 2 . Аn — площади простых сечений;

x 1 , x 2 … x n , y 1 , y 2 … y n – координаты центра тяжести простых сечений.

Координаты центра тяжести сложной плоской фигуры определяются после разделения ее на простые фигуры и определения их центров тяжести.

Координаты центра тяжести некоторых простых плоских фигур:

Порядок выполнения задания:

1) начертить заданное сложное сечение (фигуру), выбрать оси координат.

2) разбить сложное сечение на простые, для которых центры тяжести и силы тяжести известны;

3) определить необходимые данные для простых сечений:

4) определить координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат;

5) определить положение центра тяжести сложного сечения.

Найти координаты центра тяжести плоской фигуры, изображенной на рисунке.

Выбираем оси координат так, чтобы нижний и левый край фигуры совпали с ними:

Делим заданную плоскую фигуру на прямоугольник (1), треугольник (2) и круг (3).

Вычисляем площади этих фигур:

S 1 = 10·20 = 200; S 2 = 0,5·5·10 = 25; S 3 = π·9 =28,3.

Определяем координаты центров тяжести фигур:

x 2 = 5; y 2 = 11,7.

Координаты центра тяжести всей плоской фигуры:

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методическая разработка по теме Проецирование плоских фигурпо дисциплине инженерная графика. Краткое содержание материала, тестовое задание по теме, задание на графическую работу.

Интегрированный урок — это учебное занятие, на котором тема рассматривается с различных точек зрения, средствами нескольких дисциплин. Интегрированные уроки формируют познавательный интерес обучающихс.

Данная методическая разработка содержит методические указания по проведению лабораторной работы «Определение центра тяжести плоской фигуры».

ГБПОУ «Навашинский политехнический техникум», Россия, Глебова Ю.В., 2012 г., 12 стр., 76 слайдов; Описание: План-конспект урока по дисциплине «Техническая механика» на тему «Центр тяжести» для студент.

ГБПОУ «Навашинский судомеханический техникум»; Выполнил: Кирилов А.В. студент II курса; Руководитель: Глебова Ю.В.,преподаватель ; Исследовательская работа — 26 стр., , 2014 г. Практ.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИГосударственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Кстовский нефтяной техникум имени Бориса Ивановича Корнилова»ОП-04Система.

решени задач на определение центра тяжести плоских фигур.

Источник статьи: http://nsportal.ru/npo-spo/arkhitektura-i-stroitelstvo/library/2020/11/03/opredelenie-tsentra-tyazhesti-ploskoy-figury

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Положения центров тяжести простых геометрических фигур мо­гут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямоугольник; в) — треугольник; г) — полукруг).

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. При решении задач используются следующие методы:

1. метод симметрии: центр тяжести симметричных фигур нахо­дится на оси симметрии;

2. метод разделения: сложные сечения разделяем на несколько простых частей, положение центров тяжести которых легко опреде­лить;

3. метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рас­сматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Примеры решения задач

Пример1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рис. 8.4.

Решение

Разбиваем фигуру на три части:

Аналогично определяется у_С = 4,5 см.

Пример 2. Найти положение центра тяжести симметричной стержневой фермы ADBE (рис. 116), размеры которой таковы: АВ = 6м, DE = 3 м и EF = 1 м.

Решение

Так как ферма симметричная, то ее центр тяжести лежит на оси симметрии DF. При выбранной (рис. 116) системе коор­динатных осей абсцисса центра тяжести фермы

Неизвестной, следовательно, является лишь ордината у_С центра тя­жести фермы. Для ее определения разбиваем ферму на отдельные части (стержни). Длины их определяются из соответствующих треугольников.

Центр тяжести каждого стержня лежит в его середине, координаты этих центров легко определяются из чертежа (рис. 116).

Найденные длины и ординаты центров тяжести отдельных частей фермы заносим в таблицу и по формуле

определяем ординату у с центра тяжести данной плоской фермы.

Следовательно, центр тяжести С всей фермы лежит на оси DF симметрии фермы на расстоянии 1,59 м от точки F.

Пример 3. Определить координаты центра тяжести составного сечения. Сечение состоит из листа и прокатных профилей (рис. 8.5).

Примечание. Часто рамы сваривают из разных профилей, создавая необходимую конструкцию. Таким образом, уменьшается расход металла и образуется конструкция высокой прочности.

Для стандартных прокатных профилей собственные геометри­ческие характеристики известны. Они приводятся в соответствую­щих стандартах.

Решение

1. Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблиц необхо­димые данные:

1 — швеллер № 10 (ГОСТ 8240-89); высота h = 100 мм; ширина полки b = 46 мм; площадь сечения А₁ = 10,9 см 2 ;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); высота 160 мм; ширина полки 81 мм; площадь сечения А₂ — 20,2 см 2 ;

3 — лист 5×100; толщина 5 мм; ширина 100мм; площадь сечения A₃ = 0,5 • 10 = 5 см 2 .

2. Координаты центров тяжести каждой фигуры можно опреде­лить по чертежу.

Составное сечение симметрично, поэтому центр тяжести нахо­дится на оси симметрии и координата х_С = 0.

3. Определение центра тяжести составного сечения:

Пример 4. Определить координаты центра тяжести сечения, по­казанного на рис. 8, а. Сечение состоит из двух уголков 56×4 и швеллера № 18. Выполнить проверку правильности определения положения центра тяжести. Указать его положение на сечении.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: два уголка 56 х 4 и швеллер № 18. Обозначим их 1, 2, 3 (см. рис. 8, а).

2. Укажем центры тяжести каждого профиля, используя табл. 1 и 4 прил. I, и обозначим их С₁, С₂, С₃.

3. Выберем систему координатных осей. Ось у совместим с осью симметрии, а ось х проведем через центры тяжести уголков.

4. Определим координаты центра тяжести всего сечения. Так как ось у совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, поэтому х_с = 0. Координату у_с опреде­лим по формуле

Пользуясь таблицами приложения, определим площади каждого профиля и координаты центров тяжести:

Координаты у₁ и у₂ равны нулю, так как ось х проходит через центры тяжести уголков. Подставим полученные значения в формулу для определения у_с:

5. Укажем центр тяжести сечения на рис. 8, а и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у_С = 2,43 см от оси х до точ­ки С.

Поскольку уголки симметрично расположены, имеют одина­ковую площадь и координаты, то А₁ = А₂, у₁ = у₂. Поэтому фор­мула для определения у_С может быть упрощена:

6. Выполним проверку. Для этого ось х проведем по нижнему краю полки уголка (рис. 8, б). Ось у оставим, как в первом ре­шении. Формулы для определения х_С и у_С не изменяются:

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжестей уголков и швеллера изменятся. Выпишем их:

Находим координату центра тяжести:

По найденным координатам х_с и у_с наносим на рисунок точ­ку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Проверим это. Разница между координатами у_с, найденными при первом и втором решении, составляет: 6,51 — 2,43 = 4,08 см.

Это равно расстоянию между осями х при первом и втором решении: 5,6 — 1,52 = 4,08 см.

Ответ: у_с = 2,43 см, если ось х проходит через центры тяже­сти уголков, или у_с = 6,51 см, если ось х проходит по нижнему краю полки уголка.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести сечения, изображенного на рис. 9, а. Сечение состоит из двутавра № 24 и швеллера №.24а. Показать положение центра тяжести на сече­нии.

Решение

1. Разобьем сечение на профили проката: двутавр и швеллер. Обозначим их цифрами 1 и 2.

3. Укажем центры тяжести каждого профиля С₁ и С₂, ис­пользуя таблицы приложений.

4. Выберем систему осей координат. Ось х совместим с осью симметрии, а ось у проведем через центр тяжести двутавра.

5. Определим координаты центра тяжести сечения. Координа­та у_с = 0, так как ось х совпадает с осью симметрии. Координату х_с определим по формуле

По табл. 3 и 4 прил. I и схеме сечения определим

Подставим числовые значения в формулу и получим

5. Нанесем точку С (центр тяжести сечения) по найденным значениям х_с и у_с (см. рис. 9, а).

Проверку решения необходимо выполнить самостоятельно при положении осей, как показано на рис. 9, б. В результате ре­шения получим х_с = 11,86 см. Разница между значениями х_с при первом и втором решении равна 11,86 — 6,11 = 5,75 см, что равно расстоянию между осями у при тех же решениях b_дв/2 = 5,75 см.

Ответ: х_с = 6,11 см, если ось у проходит через центр тяжести двутавра; х_с = 11,86 см, если ось у проходит через левые крайние точки двутавра.

Пример 6. Железнодорожный кран опирается на рельсы, расстояние меж­ду которыми АВ = 1,5м (рис. 1.102). Сила тяжести тележки крана G_r = 30 кН, центр тяжести тележки находится в точке С, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью рисунка. Сила тяжести лебедки крана Q_л = 10 кН приложена в точке D. Сила тяжести противовеса G„=20 кН приложена в точке Е. Сила тяжести стрелы G_c = 5 кН приложена в точке Н. Вылет крана относительно линии KL равен 2 м. Определить коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии и какой груз F можно поднять этим краном при условии, что коэффициент устойчивости должен быть не менее двух.

Решение

1. В ненагруженном состоянии у крана возникает опасность опро­кидывания при повороте вокруг рельса А. Следовательно, относительно точки А момент устойчивости

2. Опрокидывающий момент относительно точки А создается силой тяжести противове­са, т. е.

3. Отсюда коэффициент устойчивости крана в ненагруженном состоянии

4. При нагрузке стрелы крана грузом F возникает опасность опрокидывания крана с поворотом около рельса В. Следовательно, от­носительно точки В момент устойчивости

5. Опрокидывающий момент относитель­но рельса В

6. По условию задачи эксплуатация крана разрешается при коэффициенте устойчивости k_B ≥ 2 , т. е.

Контрольные вопросы и задания

1. Почему силы притяжения к Земле, действующие на точки тела, можно принять за систему параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения положения центра тя­жести неоднородных и однородных тел, формулы для определения положения центра тяжести плоских сечений.

3. Повторите формулы для определения положения центра тя­жести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольни­ка, трапеции и половины круга.

4. Что называют статическим моментом площади?

5. Вычислите статический момент данной фигуры относительно оси Ox. h = 30 см; b = 120 см; с = 10 см (рис. 8.6).

6. Определите координаты центра тяжести заштрихованной фи­гуры (рис. 8.7). Размеры даны в мм.

7. Определите координату у фигуры 1 составного сечения (рис. 8.8).

При решении воспользоваться справочными данными таблиц ГОСТ «Сталь горячекатанная» (см. Приложение 1).

Источник статьи: http://infopedia.su/2x2d83.html