Признак равенства треугольников усу

Признаки равенства треугольников

Два треугольника считаются равными, если их можно совместить наложением. Но, чтобы не выполнять каждый раз наложение, для доказательства равенства треугольников, установили три признака, по которым можно определить, совместятся треугольники или нет. Эти признаки называются признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равны две стороны и угол, лежащий между этими сторонами.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁B₁ совместилась со стороной AB, то точка B совместится с точкой B₁, так как A₁B₁ = AB. Сторона A₁C₁ совместится со стороной AC, так как ∠A = ∠A₁. Точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Стороны B₁C₁ и BC совместятся, так как совместились их концы. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если у них равна одна из сторон и два прилежащих к ней угла.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Если наложить A₁B₁C₁ на ABC так, чтобы точка A₁ совместилась с точкой A и сторона A₁C₁ совместилась со стороной AC, то точка C₁ совпадёт с точкой C, так как A₁C₁ = AC. Сторона A₁B₁ совпадёт со стороной AB, так как ∠A = ∠A₁. Сторона C₁B₁ совпадёт со стороной CB, так как ∠C = ∠C₁. Вершина B₁ совпадёт с вершиной B, так как B и B₁ будут служить точками пересечения одних и тех же отрезков. Таким образом, треугольники совместятся. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема:

Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых:

Требуется доказать, что

ABC = A₁B₁C₁.

Приложим треугольники ABC и A₁B₁C₁ один к другому так, чтобы вершина A совместилась с A₁, вершина C — с C₁, а вершины B и B₁ оказались по разные стороны от прямой AC.

Соединив точки B и B₁, получим два равнобедренных треугольника BAB₁ и BСB₁.

В треугольнике BAB₁ ∠1 = ∠4, в BСB₁ ∠2 = ∠3 (как углы при основании). Следовательно,

Из этого следует, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников, кроме перечисленных трёх признаков равенства, имеются ещё дополнительные признаки, так как у них у всех есть прямой угол, а все прямые углы равны между собой.

Два прямоугольных треугольника будут равны в следующих четырёх случаях:

1. Если катеты одного треугольника равны катетам другого.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.
3. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого.
4. Если гипотенуза и катет одного треугольника равны гипотенузе и катету другого.

Источник статьи: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/ravenstvo_treug.html

Признаки равенства треугольника

О чем эта статья:

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажите равенство треугольников △ABC = △A₁B₁C₁.

△A₁B₁C₁ = △ABC, если при наложение вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, AC — со стороной A₁C₁,
A₁B₁ = AB, вершина B совпадает с вершиной B₁
A₁C₁ = AC, поскольку ∠A = ∠A₁, вершина C совпадает с вершиной C₁.
B₁C₁ = BC,
△ABC = △A₁B₁C₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁.
Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Наложим △ABC на △A₁B₁C₁, таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C — с вершиной C₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько свойств равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
   
2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
   
3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
   
4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
   
5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
   

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способом. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

В онлайн-школе Skysmart ваш ребенок научится доказывать любые теоремы и справляться с даже самыми сложными задачками на контрольных. Вас ждут опытные преподаватели, удобная интерактивная платформа и даже онлайн-доска, на которой можно чертить фигуры вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок по математике и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/priznaki-ravenstva-treugolnika