Ра ди ус окружности впи сан ной

Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Пусть меньшая часть окружности равна x, тогда

Больший угол опирается на большую дугу; вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, искомый угол равен половине от 5 · 40° или 100°.

Если нужно найти больший угол, то это развёрнутый угол по окружности от А до С. И он по любому больше 180 градусов. Считая по пропорции я вычислил, что он равен 200 градусам.

Вы нашли градусную меру большей дуги, а нужен был больший угол треугольника.

А угол треугольника «по любому больше 180 градусов» не бывает

Почему мы умножаем на дугу АС, если угол АВС лежил на дуге АВ+дуга ВС это получается не 5х, а 4 х, т.к. х+3Х=4Х.

Повторите, что значит «угол опирается на дугу».

Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

А угол B именно таким и является.

Данный угол не опирается на диаметр окружности.

Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Cумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°, поэтому

Приведём другое решение.

Угол A вписанный и опирается на дугу BCD, следовательно, он равен половине дуги BCD, значит, градусная мера дуги BCD равна 116°. Градусная мера дуги BAD равна Угол C вписанный и опирается на дугу BAD, следовательно, он равен половине дуги BAD, то есть 122°.

Стороны четырехугольника , , и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно , , , Найдите угол этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит

Источник статьи: http://ege.sdamgia.ru/test?theme=114

Ра ди ус окружности впи сан ной

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = \frac
~~$$ , где S — площадь треугольника, а $$p =\frac<2>$$ — полупериметр треугольника.~~

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.

Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =\frac<4s>$$, где S — площадь треугольника.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = \frac $$, и $$r = \frac<2>$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус равен половине гипотенузы: $$R = \frac<2>$$.

Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_$$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^\circ: \alpha + \beta + \gamma +\delta = 180^\circ$$.

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^\circ$$.

Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$AB\cdot DC + AD \cdot BC = BD \cdot AC$$.

Площадь: $$S = \sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>$$, где $$p = \frac<2>$$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

В любой ромб можно вписать окружность.

Радиус r вписанной окружности: $$r = \frac<2>$$, где h — высота ромба или $$r = \frac \cdot d_<2>><4a>$$, где a — сторона ромба, d₁ и d₂ — диагонали ромба.

Источник статьи: http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=35

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Источник статьи: http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/vpisannyj-i-opisannyj-treugolnik-vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnost/

Нахождение радиуса вписанной в квадрат окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат. Также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Через сторону квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется половине длины его стороны a.

Через диагональ квадрата

Радиус r вписанной в квадрат окружности равняется длине его диагонали d, деленной на произведение числа 2 и квадратного корня из двух.

Примеры задач

Задание 1

Найдите радиус вписанной в квадрат окружности, если известно, что длина его стороны равняется 7 см.

Воспользуемся первой формулой, подставив в него известное значение:

Задание 2

Известно, что радиус вписанной в квадрат окружности составляет 12 см. Найдите длину его диагонали.

Формулу для нахождения диагонали можно вывести из формулы для расчета радиуса круга:

Источник статьи: http://microexcel.ru/radius-vpisannogo-v-kvadrat-kruga/